浅谈数学思想

《课标》的两基改成四基，多了基本思想和基本活动经验。今天我要主要谈的是数学的基本思想。

第一，数学思想和数学方法

数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会这些定理、公式和计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。数学思想是数学科学发生、发展的根本，也是数学课程教学的精髓。

但是，《课标》在这里并没有展开阐述“数学的基本思想” ，这就给我们留下了讨论的空间。而且由于它过去并没有被充分地讨论过，所以可能仁者见仁，智者见智，不同的学者可能会有不完全一样的说法。

数学思想的内涵和外延都很丰富，通俗地说，例如有从数学角度看问题的出发点，把客观事物简化和量化的思想，周到、严密、系统地思考问题，以及建立数学模型的思想，合理地运筹帷幄，等等。

“课标”在这里的措词为数学的“基本思想”，而不是数学的“基本思想方法”，因为“思想方法”可能更多地让人联想到具体的“方法”，如归纳法，递推法，列表法，图像法，层次就降低了，且冲淡了“思想”这个关键词。其实双基中已经含有数学的这些具体方法。

         数学方法不同于数学思想。

“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；

而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。

数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。

        第二，数学的基本思想，主要可以有

数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。

人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科及其众多的分支；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以丰富和发展；通过数学模型，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的社会效益，又反过来促进了数学科学的发展；通过数学审美，看到数学“透过现象看本质”、“和谐统一众多事物”中美的成份，感受到数学“以简驭繁”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦，并且从“美”的角度发现和创造新的数学。

由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。

例如由“数学抽象的思想”派生出来的可以有：分类的思想，

集合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对应的思

想，有限与无限的思想，等等。

     例如由“数学推理的思想”派生出来的可以有：归纳的思想，

演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，

联想类比的思想，逐步逼近的思想，运筹的思想，代换的思想，

特殊与一般的思想，等等。  例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。

    例如由“数学审美的思想”派生出来的可以有：简洁的思想，

对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，

“透过现象看本质”的思想，等等。

  在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层次的。

n     处于较高层次的，例如有：逻辑推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分情况讨论的方法，等等。

n     低一些层次的数学方法，还有很多。例如有：分析法，综合法，穷举法，反证法，抽样法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，列表法，图像法，等等。

n     数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。

数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。