“解决问题的策略——倒过来推想”教学案例

南京市江宁区湖熟中心小学  甘庆军

【教材依据】:苏教版国标本实验教材第九册第九单元解决问题的策略

【设计思想】：《标准》把解决问题作为课程目标，这里的“解决问题”不是以往的解答数学习题，因为数学教学不可能把各种各样的问题一一讲全，把解答的方法都教给学生，也不可能把所有的问题都编入练习，让学生一一认识。教学的功能是帮助学生习得解决问题的一些常用的基本方法，并引导他们灵活应用这些方法，适应问题的千变万化，这就涉及到“策略”。

“解决问题的策略——倒过来推想”这一课的教学重点是让学生先摘录条件再倒过来推想，让学生体会策略的价值，并主动运用策略解决问题。难点是根据具体问题确定合理的解题步骤。

在设计这一课的教学时，我主要考虑体现以下这样几个方面：

    1、紧密联系学生生活实际。让数学源于生活，归于生活。

    新课程标准强调数学与现实生活的联系，要求数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，使他们体会到数学就在身边，也感受到数学的趣味和作用，增强学生的数学应用意识。因此我在设计这一堂课时也着重体现新课程的这一理念：从学生的简单的生活倒推经过加工，变为本节课中的带有数学味的倒推问题。贴近学生的最近发展区。     

2、体现学生的主体性，让每个学生都能主动参与学习。

    学生是学习活动的主体。这堂课在设计时，至始至终体现了让学生主动参与学习的基本理念。注重让学生在活动中自主建构。具体体现在以下几个方面：（1）在体验活动中学习（2）在独立思考活动中学习（3）在游戏操作活动中学习。     

在体现学生的主体性的同时，也设计了学生的合作学习——小组讨论。旨在培养学生的群体合作意识和探究学习意识。

    3、着重体现学生主动建构知识意义的过程。

    基于建构主义的、以学为中心的教学过程是完善学生认知结构的最有效途径。本课在设计时，着重体现学生在教师创设的高效、丰富的学习环境下通过主动探索、主动发现，在原有知识结构的基础上，通过与新的所学知识同化后，即通过“自主学习”后让学生体会策略的价值，并主动运用策略解决问题。

【教学过程】：

课前游戏“正话反说”

我们一起来做个游戏，叫“正话反说”。举个例子，老师说“天晴”，你们就要说“晴天”，明白吗？“黑板擦”、“牛奶”、“青青草”、“白雪”、“纯净水”、“数学”

一、激趣导入

1、格子棋游戏

第一回合的游戏.各说一次变化找出棋子的原来位置

第二回合提高难度,棋子每次走两步,找出原来位置

刚才在游戏过程中,你们是怎样想出棋子的原来位置的?(倒推)

倒过来想,是解决问题的一种策略,在解决数学问题时,也经常运用这种方法。

2、初步体验数学题中的逆推法

出示：（    ）+40 = （    ）—30  =20 （    ）÷7   =（    ）×9   = 54

你能把算式填写完整吗？从哪里开始填写呢？

刚才我们解答这两题用了什么方法？

板书课题：

二、教学例题

1、  教学例1

（1）过渡：

刚刚我们在解题过程中，运用倒推法小试身手，接下来要请同学们和老师一起研究实际生活中的问题。

（2）实物演示例1的场景：

老师这里有两杯饮料一共是400毫升，我想等课后请表现好的两位同学喝。你们觉得这样分公平吗？  那该怎么办？

演示把甲杯中的饮料倒一部分给乙杯。

（3）理解条件和问题

师：在刚才这个过程中，什么量变了？两杯中的数量发生了怎样的变化？

师：如果刚才从甲杯倒入乙杯的是40毫升，那么甲杯和乙杯原来各有多少毫升呢？

师：把甲杯的40毫升倒给乙杯后,两个杯子里的饮料总量有没有变化？一共还是多少毫升?那可以先求出什么?（现在的饮料）

根据什么来求？（总量不变，400÷2=200毫升）

小组讨论:知道了现在两杯饮料的数量,可以怎样求原来两个杯子中的饮料数量?用怎样的方法解决?

（4）指导画图

师：你能用示意图表示出两杯饮料的变化情况吗?

学生自主画图，小组交流。

指答思考过程，关键说清甲杯倒给乙杯，所以原来要增加40毫升，乙杯要还给甲杯40毫升，所以要去掉40毫升。

（5）列式解答

学生做在自备本上。集体校对。

追问：为什么求甲杯要加，求乙杯要减？

（6）填写表格

师：回想一下,我们刚才是怎样解决这个问题的?你能按照解题过程将书上的表格填写完整吗?要求边填边想表中的每个数据各是怎样推算出来的。

学生在书上填写。

师：你能按顺序说一说表中每一个数据是怎么得来的吗？

（7）验算

师：刚才的解答是否正确呢？你能做出检验吗？

（8）小结

师：刚才解决这个问题，运用了哪些策略?(倒过来推想的策略，画图，列表）

你认为倒过来推想的策略有什么特点呢？（已知变化过程和结果，求起始状态）

2、 练习巩固

出示练习十六第1题

师：这一题用什么策略解决比较好？（倒过来推想）

学生独立完成，集体校对，让学生说清倒过来推想的过程。

3、  教学例2，熟悉策略

（1）过渡：

师：同学们掌握得不错，接下来，让我们一起尝试解决一些稍复杂的问题。

（2）出示例题，摘录条件进行整理

小明原来有一些邮票，今年又收集了24张，送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？

师：有什么方法可以把这题的意思更清楚地表示出来吗?

学生讨论后,指出"可以按题意摘录条件进行整理"

师生共同得出"原有?张——又收集24张——送给小军30张——还剩52张”

师：你能根据上图再说说题目的大意吗？

要求小明原来的邮票，你准备用什么策略解决？明确可以用“倒过来推想”的方法解决

（3） 明确方法，完成流程图

师：你能仿照上图的样子，表示出“倒过来推想”的过程吗？

学生自主画图，教师巡回指导，请学生说一说倒推的思路

师：你们明白了吗？同桌之间互相说一说。

（4）列式解答

学生独立完成

有第二种做法，要说清可以直接比较变化过程中的两个量，又收集的比送出的少30—24=6张，所以现在的比原来的少6张（52+（30-24）=58张）

指出第二种做法稍复杂一些，但也很巧妙。

（5）验算

师：你能对刚才的解答做出检验吗？

指答 （58+24—30=52张）

（6）小结

师：在解答这题的过程中，我们是如何运用倒过来推想的策略的？

你认为适合用倒过来推想的策略来解决的问题有什么特点？

4、  练习

（1）出示练一练  小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张，小军原来有多少张画片？

师：这一题中哪个条件较难理解？

“拿出画片的一半还多1张”你能用画片演示一下吗？请一生上台演示。

（2）用什么方法解决这个问题呢？（倒推法）

学生独立完成，教师巡回指导，看有没有利用线段图的学生

指答，说清楚倒过来推想的过程

（3）检验

5、小结：解决了这几个问题之后，相信大家对于倒推法已有了一定的认识，其实，生活中还有许多数学问题需要用它解决。

三、巩固提高，熟悉倒推法

1、练习十六第7题

指答思考过程

2、思考题

师：我们刚才研究的都是身边的数学问题，接下来让我们跨越时空，用刚刚学习的方法来解决几千年前我们的数学宗师张遂编的一个数学问题。

多媒体出示思考题

我国唐代的天文学家、数学家张遂曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具，也可作计量单位）。三遇店和花，喝光壶中酒。 借问此壶中，原有多少酒？”

帮助学生整理条件和问题。（原有？斗——加一倍——喝一斗——加一倍——喝一斗——加一倍——喝一斗——喝完）

1÷2=0.5斗，0.5+1=1.5斗，1.5÷2=0.75斗，0.75+1=1.75斗，1.75÷2=0.875斗

四、总结

师：通过今天这节课的学习，你们有什么收获？

【教学反思】：

“解决问题的策略——倒过来推想”，教学用倒推（还原）的策略分析数量关系，解决问题。这对发展学生的逆向思维是有价值的。同时，能进一步增强学生运用策略分析问题的意识，提高解决问题的能力。我认为，所谓倒推有两个方面的含义：一是思维的倒推——即通过学生的逆向思维将问题进行倒推；二是计算的倒推——即计算时通过计算性质的变化进行倒推；《解决问题的策略》一课的认知目标，就是使学生通过学习，会用倒推的方法来解决生活中的实际问题。在本节课中，我处处渗透了这一目标，同时也兼顾了思维和计算的倒推，在目标的达成上，自我感觉体现得比较到位的。

一、选择贴近学生的教学内容，使学生爱学，乐学。

首先，学生在学习这节课之前，在生活中已经接触过简单的倒推思想，比如说乘公交车，早上上学，放学后按原路返回等等；并且，学生有四则运算的基础，我只是将学生以前接触过的简单的生活倒推经过加工，变为本节课中的带有数学味的倒推问题。因此，在本节课的教学内容选择上，贴近了学生的最近发展区。

其次我认为教学内容的选择，贴近学生的生活。我从引入时让学生初步体验倒推，到探索倒推的方法，再到综合应用，都是创设了学生喜闻乐见的情境，这种贴近生活常态的呈现方式，一方面，激活学生实际生活中解决问题的经验，另一方面，使学生在熟悉的生活情境中，始终对本课的学习，有着浓厚的学习热情和兴趣，增强学生的数学素养。

二、选取合适的学习方式，在活动中自主建构

这节课中，我十分注重让学生在活动中进行自主建构。具体体现在以下几个方面：

（1）   在体验活动中学习

课一开始，就创设了说正反话，两杯水倒推的情境，目的是为了让学生通过这两个具体问题，充分体验什么是倒推，怎么样进行倒推。也是在此时，我出示了板书：知道现在的数量，求原来的数量；让学生边体验，边学习，体验什么是倒推，并揭示倒推的一般方法。

（2）   在独立思考活动中学习

在独立思考中学习使学生经历思维的深刻性。如：在邮票问题中，我在赋予例题收集邮票的实际情境以后，提拱给了学生三条探索建议，就放手让学生独立思考倒推，并结合学生思考后的结果，组织学生进行互动交流，并在关键处给学生以“点化”，使学生对倒推有了更深层次的认识，从而点燃学生思维的火花。让学生经历一个自主探索的过程，这对每一个学生在解决问题的过程中形成发展，探索并应用策略的意识更有着潜移默化的作用。

（3）   在游戏操作活动中学习

游戏是学生最喜欢的学习方式之一，我注意到了学生的这一特点，在课前设计了学生喜爱的翻扑克牌游戏情境。让学生在边玩边学，边玩边解决问题。从学生回答问题来看，这样的开始，是非常感兴趣也是十分有效的。

三、采用在交互中渗透方法，在互动中进行评价。

整节课循序渐进，环环相扣，让学生在不断的探索过程中体验倒推，产生探索的欲望。在这样的课堂中，培养了学生独立思考、善于探索的能力，还给了学生的学习时间和空间。并通过师生互动，从而营造一种和谐宽松的对话环境，使学生充分地参与到学习的活动中来，真正成为学习的主人。

在学生体验、探索的过程中，我积极参与到学生的讨论中，并从中发现学生典型的思考过程，然后再组织有效的集体讨论，这样的操作是高效的，是吸引学生的注意力和激发学生的兴趣的，如在学生探索活动中，我提出了三个探索的建议，让学生自主探索呈现自己的解题思路，这时我们可以看到两种不同的整理方法，一种是用题中的条件来进行整理的，另一种是用数学符号进行整理的。这两种不相同的探索结果，为学生的思维营造了一个递地的认识过程。从形象到抽象地让学生体验了倒推策略在具体情境中的应用，在和学生的交互中渗透了倒推的思想方法。

总之，本课的思路还是比较清晰的，设计逐步推进的教学进程，层层推进学生的学习。让学生完整地递进地经历了：体验、探索、综合应用、课后拓展延伸，让学生经历了感悟解决问题的策略的过程。